martes, 11 de junio de 2013

Filosofía por Radio XIV de Jose Gaos

13.- Teoría del Conocimiento
         Las geometrías

   Hay conocimientos científicos, pero también, antes de todo conocimiento científico, mucho conocimiento vulgar. Sin embargo, voy a iniciar en la teoría del conocimiento empezando no sólo por el conocimiento científico, sino por una de las ciencias que vienen siendo secularmente consideradas como las ciencias por excelencia, las ciencias modelo, las matemáticas, a saber, la geometría, por ser, entre las matemáticas, la que se perfeccionó primero, ya en la antigua Grecia, y, debido a ello, la más influyente históricamente en la filosofía misma.
   Tal como está constituida actualmente, se reduce la geometría a una serie de axiomas o postulados, como, por ejemplo, el famoso postulado de Euclides, por un punto situado fuera de una recta situada en el mismo plano puede trazarse una paralela y una sola a la recta, y una serie de teoremas deducidos, por medio de las correspondientes demostraciones, en último término de los axiomas, como, por ejemplo, el famoso teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
   Los axiomas y los teoremas de la geometría son conceptuados por todos los sujetos conocedores de la geometría como verdaderos apodícticamente, lo que quiere decir que lo contrario es contradictorio y por ende imposible, y por lo mismo como debiendo ser conceptuados así por todo posible sujeto conocedor de la geometría, o como teniendo una verdad intersubjetiva universal. Esta verdad, apodíctica e intersubjetiva universal, es la que da a la geometría el carácter y el rango de ciencia por excelencia, modelo: el conocimiento por excelencia es el conocimiento de verdad apodíctica e intersubjetiva universal.
   Ahora bien, ¿por qué tienen tal verdad los axiomas y los teoremas de la geometría?
   Se dice que porque son evidentes los axiomas y cada uno de los pasos de las demostraciones de los teoremas. Así, que por un punto situado fuera de una recta situada en el mismo plano puede trazarse una paralela y una sola a la recta, sería evidente, esto es, basta imaginarse la recta y el punto, e intentar imaginar una paralela a la recta por el punto en el plano de ambos y [una] segunda paralela a la misma recta por el mismo punto en el mismo plano, para ver, en la imaginación, la paralela, y encontrarse con que no es posible imaginar la segunda, y hasta concebir la razón de la imposibilidad...
   Pero hay las llamadas geometrías no euclidianas, geometrías que postulan, en lugar de la paralela única de la geometría de Euclides, infinitas paralelas o ninguna, y deducen de sus postulados teoremas por medio de demostraciones tan rigurosas como las de la geometría euclidiana; y estas geometrías son conceptuadas por los conocedores de ellas exactamente lo mismo que la geometría euclidiana por los de ella: de verdad apodíctica e intersubjetiva universal. ¿Cómo es todo esto posible?
   Porque el plano del punto y la línea y esta misma no son en las geometrías no euclidianas el plano y la línea recta que son en la geometría euclidiana, sino la superficie de una esfera
o una superficie hiperbólica [o] parabólica? y una línea curva, como las trazables en tales superficies; y si se imaginan tales superficies y líneas, y en ellas puntos fuera de éstas, y se intenta imaginar paralelas por estos puntos a las líneas, se encuentra que es posible imaginar una, y otra, y otra... paralelas, o que no es posible imaginar ninguna, y se concibe que las paralelas posibles -de concebir son infinitas, o que no es posible ninguna, y la razón de lo uno y de lo otro...
   Repárese ahora en la distinción hecha, sin mencionarla como tal, entre imaginar y concebir. La paralela única de la geometría euclidiana, es imaginable. Una, otra, varias, más o menos de las paralelas de la geometría no euclidiana, son imaginables. Pero las infinitas paralelas o la ninguna paralela de las geometrías no euclidianas, son inimaginables; no son más que puramente concebibles o pensables. Este solo caso basta para enseñar concluyente, innegablemente, que hay conceptos a los que no corresponde ninguna imagen adecuada, ni por lo mismo ningún percepto, como corresponden a otros conceptos.
   Los axiomas y los teoremas de la geometría euclidiana serían verificables empíricamente, por medio de la experiencia sensible, de la percepción sensible: la agrimensura, origen histórico de la geometría, la arquitectura, las artes manuales, técnicas, todas, serían una verificación empírica, perceptiva, sensible, y constante, universal, por todos los sujetos, de la verdad de los axiomas y los teoremas de la geometría, esto es, de la conformidad entre lo dicho por los axiomas y los teoremas geométricos y las formas y relaciones geométricas de los perceptos sensibles -del espacio euclidiano que es el del mundo sensible inmediato.
   Pero a la anterior explicación por la evidencia puede objetarse que no sólo en la imaginación, sino incluso en el pensamiento puro, es posible ver mal, se ha visto, se ve, mal, de hecho, frecuentemente. Y en razón de tal objeción se recurre a otras explicaciones.
   Pero ¿y los axiomas y teoremas de las geometrías no euclidianas? Unos se han ya verificado en el espacio no euclidiano del mundo sensible alejado cósmicamente. Otros podrían verificarse en otro espacio no euclidiano que podría descubrirse, como ya se ha descubierto uno.
   Esta explicación por la verificación empírica puede fortalecerse con una explicación del origen de los conceptos geométricos, esto es, de los conceptos geométricos que figuran en los axiomas y postulados de la geometría, como los conceptos de plano, línea, punto. Los de la geometría euclidiana serían abstracciones del espacio euclidiano, lo que haría comprensible la conformidad de las formas y relaciones geométricas de este espacio con ellos. Pero los de las geometrías no euclideanas se pensaron antes de haberse descubierto los espacios correspondientes...
   Se distinguen una imaginación reproductora y una imaginación creadora.
   Análogamente deben distinguirse una abstracción reproductora y una abstracción creadora. Los conceptos geométricos de la geometría euclideana serían productos de la abstracción reproductora. Los conceptos de las geometrías no euclideanas serían productos de dos factores, o de una abstracción creadora: de los conceptos geométricos de la geometría euclideana y de unos conceptos no geométricos, como los de ninguno e infinito, conceptos negativos...
   Pero quedaría la existencia de espacios conformes a los productos, parcialmente, de tales conceptos negativos...
   ¿Y la verificación misma?...
   Una tercera explicación: la convencionalidad de los postulados y la no contradicción de los teoremas...
   Pero, aparte la no contradicción misma, ¿la conformidad entre geometrías y espacios?
                                                   23/8/61

         



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