13.- Teoría
del Conocimiento
Las
geometrías
Hay conocimientos científicos, pero también, antes de todo
conocimiento científico, mucho conocimiento vulgar. Sin embargo, voy a
iniciar en la teoría del conocimiento empezando no sólo por el conocimiento científico,
sino por una de las ciencias que vienen siendo secularmente consideradas como
las ciencias por excelencia, las ciencias modelo, las matemáticas,
a saber, la geometría, por ser, entre las matemáticas, la que se
perfeccionó primero, ya en la antigua Grecia, y, debido a ello, la más
influyente históricamente en la filosofía misma.
Tal como está constituida actualmente, se reduce la geometría a una
serie de axiomas o postulados, como, por ejemplo, el famoso postulado
de Euclides, por un punto situado fuera de una recta situada en el mismo
plano puede trazarse una paralela y una sola a la recta, y una serie de teoremas
deducidos, por medio de las correspondientes demostraciones, en
último término de los axiomas, como, por ejemplo, el famoso teorema de
Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos.
Los axiomas y los teoremas de la geometría son conceptuados por todos
los sujetos conocedores de la geometría como verdaderos apodícticamente,
lo que quiere decir que lo contrario es contradictorio y por ende
imposible, y por lo mismo como debiendo ser conceptuados así por todo posible
sujeto conocedor de la geometría, o como teniendo una verdad intersubjetiva
universal. Esta verdad, apodíctica e intersubjetiva universal, es la que da
a la geometría el carácter y el rango de ciencia por excelencia, modelo: el
conocimiento por excelencia es el conocimiento de verdad apodíctica e
intersubjetiva universal.
Ahora bien, ¿por qué tienen tal verdad los axiomas y los teoremas de la
geometría?
Se dice que porque son evidentes los axiomas y cada uno de los
pasos de las demostraciones de los teoremas. Así, que por un punto situado
fuera de una recta situada en el mismo plano puede trazarse una paralela y una
sola a la recta, sería evidente, esto es, basta imaginarse la recta y el
punto, e intentar imaginar una paralela a la recta por el punto en el plano de
ambos y [una] segunda paralela a la misma recta por el mismo punto en el mismo
plano, para ver, en la imaginación, la paralela, y encontrarse con que
no es posible imaginar la segunda, y hasta concebir la razón de la imposibilidad...
Pero hay las llamadas geometrías no euclidianas, geometrías que
postulan, en lugar de la paralela única de la geometría de Euclides, infinitas
paralelas o ninguna, y deducen de sus postulados teoremas por medio de
demostraciones tan rigurosas como las de la geometría euclidiana; y estas
geometrías son conceptuadas por los conocedores de ellas exactamente lo mismo
que la geometría euclidiana por los de ella: de verdad apodíctica e
intersubjetiva universal. ¿Cómo es todo esto posible?
Porque el plano del punto y la línea y esta misma no
son en las geometrías no euclidianas el plano y la línea recta que son
en la geometría euclidiana, sino la superficie de una esfera
o una superficie hiperbólica
[o] parabólica? y una línea curva, como las trazables en tales
superficies; y si se imaginan tales superficies y líneas, y en ellas puntos
fuera de éstas, y se intenta imaginar paralelas por estos puntos a las líneas,
se encuentra que es posible imaginar una, y otra, y otra... paralelas, o que no
es posible imaginar ninguna, y se concibe que las paralelas posibles -de
concebir son infinitas, o que no es posible ninguna, y la razón de lo uno y de
lo otro...
Repárese ahora en la distinción hecha, sin mencionarla como tal, entre
imaginar y concebir. La paralela única de la geometría euclidiana, es imaginable.
Una, otra, varias, más o menos de las paralelas de la geometría no euclidiana,
son imaginables. Pero las infinitas paralelas o la ninguna
paralela de las geometrías no euclidianas, son inimaginables; no son más
que puramente concebibles o pensables. Este solo caso basta para
enseñar concluyente, innegablemente, que hay conceptos a los que no
corresponde ninguna imagen adecuada, ni por lo mismo ningún percepto, como
corresponden a otros conceptos.
Los axiomas y los teoremas de la geometría euclidiana serían verificables
empíricamente, por medio de la experiencia sensible, de la percepción
sensible: la agrimensura, origen histórico de la geometría, la
arquitectura, las artes manuales, técnicas, todas, serían una verificación
empírica, perceptiva, sensible, y constante, universal, por todos los sujetos,
de la verdad de los axiomas y los teoremas de la geometría, esto es, de
la conformidad entre lo dicho por los axiomas y los teoremas geométricos
y las formas y relaciones geométricas de los perceptos sensibles -del espacio
euclidiano que es el del mundo sensible inmediato.
Pero a la anterior explicación por la evidencia puede objetarse que no
sólo en la imaginación, sino incluso en el pensamiento puro, es posible ver
mal, se ha visto, se ve, mal, de hecho, frecuentemente. Y en razón de tal
objeción se recurre a otras explicaciones.
Pero ¿y los axiomas y teoremas de las geometrías no euclidianas? Unos se
han ya verificado en el espacio no euclidiano del mundo sensible alejado
cósmicamente. Otros podrían verificarse en otro espacio no euclidiano que
podría descubrirse, como ya se ha descubierto uno.
Esta explicación por la verificación empírica puede fortalecerse con una
explicación del origen de los conceptos geométricos, esto es, de los
conceptos geométricos que figuran en los axiomas y postulados de la geometría,
como los conceptos de plano, línea, punto. Los de la geometría euclidiana
serían abstracciones del espacio euclidiano, lo que haría comprensible
la conformidad de las formas y relaciones geométricas de este espacio con
ellos. Pero los de las geometrías no euclideanas se pensaron antes de haberse
descubierto los espacios correspondientes...
Se distinguen una imaginación reproductora y una imaginación
creadora.
Análogamente deben distinguirse una abstracción reproductora y
una abstracción creadora. Los conceptos geométricos de la geometría
euclideana serían productos de la abstracción reproductora. Los conceptos de
las geometrías no euclideanas serían productos de dos factores, o de una
abstracción creadora: de los conceptos geométricos de la geometría euclideana y
de unos conceptos no geométricos, como los de ninguno e infinito,
conceptos negativos...
Pero quedaría la existencia de espacios conformes a los productos,
parcialmente, de tales conceptos negativos...
¿Y la verificación misma?...
Una tercera explicación: la convencionalidad de los postulados y la no
contradicción de los teoremas...
Pero, aparte la no contradicción misma, ¿la conformidad entre geometrías
y espacios?
23/8/61
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